حل تمرین صفحه 69 حسابان دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 1 صفحه 69 حسابان دوازدهم سلام! این تمرین بر روی مفاهیم پایه **حد در بی‌نهایت (Limit at Infinity)** تمرکز دارد که اساس تعریف **مجانب افقی (Horizontal Asymptote)** است. 🚀 --- ### الف) مفهوم $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2$ این عبارت به این معنی است که: > **وقتی مقادیر $x$ به طور نامحدودی بزرگ می‌شوند (به سمت راست می‌رویم)، مقادیر تابع $f(x)$ به عدد ثابت 2 نزدیک می‌شوند.** * **توضیح:** این وضعیت نشان می‌دهد که خط افقی **$y = 2$** یک **مجانب افقی** برای نمودار تابع $f$ در سمت راست است. هر چه $x$ بزرگ‌تر می‌شود، نمودار به خط $y = 2$ نزدیک‌تر می‌شود. --- ### ب) مفهوم $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 4$ این عبارت به این معنی است که: > **وقتی مقادیر $x$ به طور نامحدودی کوچک می‌شوند (به سمت چپ می‌رویم)، مقادیر تابع $f(x)$ به عدد ثابت 4 نزدیک می‌شوند.** * **توضیح:** این وضعیت نشان می‌دهد که خط افقی **$y = 4$** یک **مجانب افقی** برای نمودار تابع $f$ در سمت چپ است. هر چه $x$ کوچک‌تر می‌شود، نمودار به خط $y = 4$ نزدیک‌تر می‌شود.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 2 صفحه 69 حسابان دوازدهم برای حل این تمرین، به سادگی رفتار تابع را با نگاه کردن به نمودار در نقاط مورد نظر (بی‌نهایت و اطراف مجانب‌ها) تعیین می‌کنیم. 📈 --- ### الف) $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ * **رفتار نمودار:** وقتی $x$ به سمت راست ($\mathbf{+\infty}$) می‌رود، نمودار به خط افقی چین‌چین $\mathbf{y = 1}$ نزدیک می‌شود. * **جواب:** $$\mathbf{1}$$ ### ب) $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ * **رفتار نمودار:** وقتی $x$ به سمت چپ ($\mathbf{-\infty}$) می‌رود، نمودار به خط افقی چین‌چین $\mathbf{y = 1}$ نزدیک می‌شود. * **جواب:** $$\mathbf{1}$$ ### پ) $\lim_{x \to 3^+} f(x)$ * **رفتار نمودار:** وقتی $x$ از سمت **راست** (مقادیر بزرگ‌تر از 3) به 3 نزدیک می‌شود، نمودار به مقدار $\mathbf{4}$ نزدیک می‌شود. * **جواب:** $$\mathbf{4}$$ ### ت) $\lim_{x \to 3^-} f(x)$ * **رفتار نمودار:** وقتی $x$ از سمت **چپ** (مقادیر کوچک‌تر از 3) به 3 نزدیک می‌شود، نمودار به مقدار $\mathbf{2}$ نزدیک می‌شود. * **جواب:** $$\mathbf{2}$$ ### ث) $\lim_{x \to -2^+} f(x)$ * **رفتار نمودار:** وقتی $x$ از سمت **راست** (مقادیر بزرگ‌تر از $-2$) به $-2$ نزدیک می‌شود، نمودار به مقدار **صفر** نزدیک می‌شود (حفره در $(-2, 0)$). * **جواب:** $$\mathbf{0}$$ ### ج) مجانب‌های افقی و قائم * **مجانب افقی (HA):** خطی است که حد تابع در $\pm \infty$ به آن نزدیک می‌شود. بر اساس الف و ب، $y=1$ مجانب افقی است. * **پاسخ:** $\mathbf{y = 1}$ * **مجانب قائم (VA):** خطی است که حد تابع در اطراف آن به $\pm \infty$ می‌رسد. در $x=-3$، حد چپ به $-\infty$ و حد راست به $+\infty$ می‌رود. * **پاسخ:** $\mathbf{x = -3}$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 4 صفحه 69 حسابان دوازدهم برای یافتن مجانب‌ها، از مقایسه درجه صورت و مخرج در بی‌نهایت (برای افقی) و ریشه‌های مخرج (برای قائم) استفاده می‌کنیم. 📐 --- ### الف) $y = \frac{2x - 1}{x - 3}$ 1. **مجانب افقی (HA):** درجه صورت ($n=1$) = درجه مخرج ($m=1$). نسبت ضرایب: $$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x}{x} = 2$$ * **HA:** $\mathbf{y = 2}$ 2. **مجانب قائم (VA):** ریشه مخرج: $$x - 3 = 0 \implies x = 3$$ صورت در $x=3$: $2(3) - 1 = 5 \neq 0$. * **VA:** $\mathbf{x = 3}$ --- ### ب) $y = \frac{x}{x^2 - 4}$ 1. **مجانب افقی (HA):** درجه صورت ($n=1$) < درجه مخرج ($m=2$). $$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x}{x^2} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x} = 0$$ * **HA:** $\mathbf{y = 0}$ 2. **مجانب قائم (VA):** ریشه‌های مخرج: $$x^2 - 4 = 0 \implies x = 2, x = -2$$ صورت در $x=2$ (برابر 2) و در $x=-2$ (برابر $-2$) صفر نمی‌شود. * **VA:** $\mathbf{x = 2} \quad \text{و} \quad \mathbf{x = -2}$ --- ### پ) $y = \frac{1 + 2x^2}{1 - x^2}$ 1. **مجانب افقی (HA):** درجه صورت ($n=2$) = درجه مخرج ($m=2$). نسبت ضرایب بزرگترین توان‌ها: $$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x^2}{-x^2} = \frac{2}{-1} = -2$$ * **HA:** $\mathbf{y = -2}$ 2. **مجانب قائم (VA):** ریشه‌های مخرج: $$1 - x^2 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1, x = -1$$ صورت در $x=\pm 1$: $1 + 2(1)^2 = 3 \neq 0$. * **VA:** $\mathbf{x = 1} \quad \text{و} \quad \mathbf{x = -1}$ --- ### ت) $y = \frac{2x}{1 + x^2}$ 1. **مجانب افقی (HA):** درجه صورت ($n=1$) < درجه مخرج ($m=2$). $$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x}{x^2} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2}{x} = 0$$ * **HA:** $\mathbf{y = 0}$ 2. **مجانب قائم (VA):** ریشه‌های مخرج: $$1 + x^2 = 0 \implies x^2 = -1$$ معادله ریشه حقیقی ندارد (مخرج هرگز صفر نمی‌شود). * **VA:** $\mathbf{\text{ندارد}}$ --- | تابع | مجانب افقی (HA) | مجانب قائم (VA) | |:---:|:---:|:---:| | الف) $y = \frac{2x - 1}{x - 3}$ | $y = 2$ | $x = 3$ | | ب) $y = \frac{x}{x^2 - 4}$ | $y = 0$ | $x = 2, x = -2$ | | پ) $y = \frac{1 + 2x^2}{1 - x^2}$ | $y = -2$ | $x = 1, x = -1$ | | ت) $y = \frac{2x}{1 + x^2}$ | $y = 0$ | ندارد |

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 5 صفحه 69 حسابان دوازدهم برای رسم نمودار $f$، هر یک از شرایط داده شده را به یک ویژگی نموداری ترجمه می‌کنیم و سپس یک نمودار سازگار رسم می‌کنیم. ✍️ --- ### 1. ترجمه شرایط * **الف) $f(1) = f(-2) = 0$:** نمودار باید از نقاط **$(1, 0)$** و **$(-2, 0)$** عبور کند (ریشه‌ها). * **ب) حد در $x=0$ و $x=2$ نامتناهی:** تابع باید در **$x = 0$** و **$x = 2$** دارای **مجانب قائم** باشد. * $\mathbf{\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty}$ (سمت چپ $x=0$ به پایین می‌رود) * $\mathbf{\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty}$ (سمت راست $x=2$ به بالا می‌رود) * **پ) خط $y = -1$ مجانب افقی:** * $\mathbf{\lim_{x \to +\infty} f(x) = -1}$ * $\mathbf{\lim_{x \to -\infty} f(x) = -1}$ ### 2. طرح کلی نمودار 1. **مجانب افقی:** نمودار در دوردست چپ و راست به خط **$y = -1$** نزدیک می‌شود. 2. **مجانب قائم اول ($x=0$):** نمودار از سمت چپ به $-\infty$ می‌رود. 3. **مجانب قائم دوم ($x=2$):** نمودار از سمت راست به $+\infty$ می‌رود. 4. **ریشه‌ها:** نمودار باید محور $x$ را در 1 و $-2$ قطع کند. ### 3. رسم نمودار (از چپ به راست) * **بازه $(-\infty, -2)$:** نمودار از مجانب افقی $y=-1$ شروع می‌شود، از ریشه $(-2, 0)$ می‌گذرد و احتمالاً به سمت $x=0$ می‌رود. * **بازه $(-2, 0)$:** نمودار از ریشه $(-2, 0)$ به سمت پایین ($\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty$) می‌رود. * **بازه $(0, 2)$:** برای اینکه نمودار از $x=0$ به سمت $x=2$ حرکت کند و از $(1, 0)$ بگذرد، باید در $x=0$ از $+\infty$ آمده باشد ($\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$)، از ریشه $(1, 0)$ بگذرد و سپس به سمت $-\infty$ در $x=2$ برود ($\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty$). * **بازه $(2, +\infty)$:** نمودار از $+\infty$ ($\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$) شروع شده و به مجانب افقی $y=-1$ نزدیک می‌شود. **نمودار:**